Question

如图，、为圆柱的母线，是底面圆的直径，、分别是、的中点，．

（1）证明：；

（2）求四棱锥与圆柱的体积比；

（3）若，求与面所成角的正弦值．

 

Answer 1

解：（1）证明：连结，.

分别为的中点，

∴.…………………………………2分

又，且.

∴四边形是平行四边形，

即. ………………3分

∴.    ………………………4分

（2）由题，且由（1）知.

∴，∴ ，

∴.  …………………………………………………………………………6分

因是底面圆的直径，得，且，

∴，即为四棱锥的高．………………………………………7分

设圆柱高为，底半径为，则，

∴：.  …………………………………………………………………9分

（3）解一：由(1)(2)可知，可分别以为坐标轴建立空间直角标系，如图

设，则，，

，从而，

，由题，是面

的法向量，设所求的角为.…………………12分

则.

………………………………14分

解二：作过的母线，连结，则

是上底面圆的直径，连结，得

，又，

∴，连结，

则为与面所成的角，

设，则

，.……12分

在中，

．………………14分