Question

已知命题p：?x0∈R，x02+2ax0-8-6a=0，命题q：?x∈[1，2]，

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x2-lnx+k-a≥0
（1）若当k=0时，命题p和q都是真命题，求实数a的取值范围；
（2）若“命题q为真命题”是“命题p为假命题”的必要不充分条件，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）命题p说明方程x²+2ax-8-6a=0有根，根据判别式大于等于0，求出a的范围，命题qq：?x∈[1，2]，

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2

x2-lnx+k-a≥0将其转化为f(x)=

1

2

x2-lnx+k-a≥0在[1，2]上恒成立，此时求出a与k的不等式，已知k=0，代入求出a的范围，根据p与q都为真命题，求实数a的取值范围；
（2）在第一问的基础上，“命题p为假命题”⇒“命题q为真命题”，可以求出实数k的取值范围．

解答：解：若p为真，则△≥0，得a≤-4或a≥-2
若q为真，则令f(x)=

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2

x2-lnx+k-a≥0在[1，2]上恒成立，f(x)=x-

1

x

=0，
解得x=1．可得f（x）在[1，2]上单调递增，
即f(x)min=f(1)=

1

2

+k-a≥0，
解得a≤

1

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+k，
（1）k=0，p和q均为真，则得实数a的取值范围是(-∞，-4]∪[-2，

1

2

]
（2）p为假命题，得-4＜a＜-2
由于q为真命题是p为假命题的必要不充分条件，即“命题p为假命题”⇒“命题q为真命题”，
所以

1

2

+k≥-2，解得k≥-

5

2

点评：此题主要考查命题真假的判断，充分必要条件的定义，考查的知识点多且全面，是一道中档题；