Question

已知二次不等式ax²+2x+b＞0的解集{x|x≠-

1

a

}，且a＞b，则

a2+b2

a-b

的最小值为

2

2

．

Answer 1

分析：由二次不等式和二次方程的根的关系可得ab=1，而要求的式子可化为：（a-b）+

2

a-b

，由基本不等式求最值可得结果．

解答：解：∵二次不等式ax²+2x+b＞0的解集{x|x≠-

1

a

}，
∴a＞0，且对应方程有两个相等的实根为-

1

a

由根与系数的故关系可得-

1

a

•(-

1

a

)=

b

a

，即ab=1
故

a2+b2

a-b

=

(a-b)2+2

a-b

=（a-b）+

2

a-b

，
∵a＞b，∴a-b＞0，由基本不等式可得
（a-b）+

2

a-b

≥2

(a-b) 2 a-b

=2

2

，
当且仅当a-b=

2

时取等号
故

a2+b2

a-b

的最小值为：2

2

故答案为：2

2

点评：本题为基本不等式求最小值，涉及不等式的解集跟对应方程根的关系，把要求的式子化简成可利用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题．