Question

已知二次不等式ax²+2x+b≤0的解集为{x|x=-

1

a

}，且a＞b，则

a-b

a2+b2

的取值范围为

(0，

2

4

]

．

Answer 1

分析：根据二次不等式ax²+2x+b≤0的解集为{x|x=-

1

a

}，可得b=

1

a

，a＞0，利用a＞b，可知a＞1，从而

a-b

a2+b2

=

a- 1 a

a2+( 1 a )2

，利用换元法，再利用基本不等式，即可求得结论．

解答：解：由题意，二次不等式ax²+2x+b≤0的解集为{x|x=-

1

a

}，
∴a＞0，且a(x+

1

a

)2=0
∴b=

1

a

，a＞0
∵a＞b，∴a＞1
∴

a-b

a2+b2

=

a- 1 a

a2+( 1 a )2

令t=a-

1

a

，则t＞0
∴

a- 1 a

a2+( 1 a )2

=

t

t2+2

=

1

t+ 2 t

∵t＞0，∴t+

2

t

≤2

2

（当且仅当t=

2

时，取等号）
∴0＜

1

t+ 2 t

≤

2

4

∴0＜

a-b

a2+b2

≤

2

4

∴

a-b

a2+b2

的取值范围为(0，

2

4

]
故答案为：(0，

2

4

]

点评：本题考查二次不等式的运用，考查基本不等式的运用，利用基本不等式求最值是解题的关键．