Question

【题目】如图，三棱锥中，，是正三角形，且平面平面ABC，，E，G分别为AB，BC的中点．

（Ⅰ）证明：平面ABD；

（Ⅱ）若F是线段DE的中点，求AC与平面FGC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由题可得，又可证平面ABD，从而可证平面ABD；

（Ⅱ）以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求解AC与平面FGC所成角的正弦值.

（Ⅰ）因为E，G分别为AB，BC的中点，所以．

因为，平面平面ABC，

平面平面，

所以平面ABD，

所以平面ABD；

（Ⅱ）因为是正三角形，所以．

又由（Ⅰ）知平面ABD，即EG，AB，DE两两垂直，

则以E为坐标原点，分别以，，的方向为

x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

因为，是正三角形，

所以，，，

，，．

因为F是DE的中点，所以．

，，．

设平面FGC的一个法向量为，

所以

令，则，，所以．

设AC与平面FGC所成的角为，

则．