Question

若ΔABC所在的平面和ΔA₁B₁C₁所在平面相交，并且直线AA₁、BB₁、CC₁相交于一点O，求证：

(1)AB和A₁B₁、BC和B₁C₁、AC和A₁C₁分别在同一平面内；

(2)如果AB和A₁B₁、BC和B₁C₁、AC和A₁C₁分别相交，那么交点在同一直线上(如图)．

Answer 1

答案：
解析：

　　(1)证明：∵AA₁∩BB₁＝O，

　　∴AA₁、BB₁确定平面BAO，

　　∵A、A₁、B、B₁都在平面ABO内，

　　∴AB平面ABO；A₁B₁平面ABO．

　　同理可证，BC和B₁C₁、AC和A₁C₁分别在同一平面内．

　　(2)分析：欲证两直线的交点在一条直线上，可根据公理2，证明这两条直线分别在两个相交平面内，那么，它们的交点就在这两个平面的交线上．

　　证明：如上图，设AB∩A₁B₁＝P；

　　AC∩A₁C₁＝R；

　　∴面ABC∩面A₁B₁C₁＝PR．

　　∵BC面ABC；B₁C₁面A₁B₁C₁，

　　且BC∩B₁C₁＝Q∴Q∈PR，

　　即P、R、Q在同一直线上．