Question

已知函数f（x）=|1-

1

x

|，（x＞0）
（1）当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，求证：a+b=2ab
（2）是否存在实数a，b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域、值域都是[a，b]？若存在，则求出a，b的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）分x≥1时和x＜1时，根据绝对值的性质，可根据绝对值的定义，可将函数的解析式化为分段函数的形式，进而分析函数的单调性，结合函数的单调性证得结论
（2）根据（1）中结论，分①当a、b∈（0，1）时，②当a、b∈（1，+∞）时，③当a∈（0，1），b∈（1，+∞）时，三种情况讨论a，b的存在性，最后综合讨论结果，可得答案．

解答：解：（1）∵x＞0，
当x≥1时，1-

1

x

≥0，f（x）=|1-

1

x

|=1-

1

x

，
当x＜1时，1-

1

x

＜0，f（x）=|1-

1

x

|=

1

x

-1，
∴f(x)=

1- 1 x (x≥1) 1 x -1(0＜x＜1)

，
所以f（x）在（0，1）内递减，在（1，+∞）内递增．
由0＜a＜b，且f（a）=f（b）?0＜a＜1＜b，
∴

1

a

-1=1-

1

b

即

1

a

+

1

b

=2．
∴2ab=a+b…（4分）
（2）不存在满足条件的实数a，b．
∵f(x)=

1- 1 x (x≥1) 1 x -1(0＜x＜1)

①当a、b∈（0，1）时，f(x)=

1

x

-1在（0，1）内递减，
∴

f(a)=b f(b)=a

?

1 a -1=b 1 b -1=a

?a=b，所以不存在．         …（7分）
②当a、b∈（1，+∞）时，f(x)=1-

1

x

在（1，+∞）内递增，
∴

f(a)=a f(b)=b

?a，b是方程x²-x+1=0的根．
而方程x²-x+1=0无实根．所以不存在．               …（10分）
③当a∈（0，1），b∈（1，+∞）时，f（x）在（a，1）内递减，在（1，b）内递增，
所以f（1）=a?a=0，
由题意知a≠0，所以不存在．                            …（12分）

点评：本题考查的知识点是带绝对值的函数，其中根据绝对值的定义去掉绝对值符号，将函数的解析式化为分段函数的形式是解答的关键．