Question

已知焦点在轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点 为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线对称．

（1）求双曲线C的方程；

（2）设直线与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线经过M（－2，0）及AB的中点，求直线在轴上的截距b的取值范围．（12分）

Answer 1

解析：（1）当表示焦点为的抛物线；（2）当时，，表示焦点在x轴上的椭圆；（3）当a>1时，，表示焦点在x轴上的双曲线. （1设双曲线C的渐近线方程为y=kx，则kx-y=0∵该直线与圆相切，∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x．故设双曲线C的方程为．

又双曲线C的一个焦点为，∴，．∴双曲线C的方程为:.

（2）由得．令

∵直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f(x)=0在上有两个不等实根．

因此，解得．又AB中点为，

∴直线l的方程为：． 令x=0，得．

∵，∴，∴．