Question

已知椭圆E：（a＞b＞0）过点P（3，1），其左、右焦点分别为F₁，F₂，且．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若M，N是直线x=5上的两个动点，且F₁M⊥F₂N，则以MN为直径的圆C是否过定点？请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意分别写出，所以，解得c=4，再结合椭圆的定义可得a得数值，进而得到椭圆E的方程．
（2）设M，N的坐标分别为（5，m），（5，n），则，所以，即mn=-9，并且得到圆C的方程为，化简可得（x-5）²+y²-（m+n）y-9=0，令y=0，可得x=8或2，即可得到答案．
解答：解：（1）设点F₁，F₂的坐标分别为（-c，0），（c，0）（c＞0），
则，
故，
解得c=4，
所以，
所以，
所以椭圆E的方程为．
（2）设M，N的坐标分别为（5，m），（5，n），则，
因为，
所以，即mn=-9，
又因为圆C的圆心为，半径为，
所以圆C的方程为，
即（x-5）²+y²-（m+n）y+mn=0，即（x-5）²+y²-（m+n）y-9=0，
令y=0，可得x=8或2，
所以圆C必过定点（8，0）和（2，0）．
点评：此题是个中档题．考查椭圆的定义和标准方程的求法，以及圆与椭圆的综合等知识，同时考查了学生分析问题与解决问题的能力．