Question

3．P是△ABC内一点，△ACP，△BCP的面积分别记为S₁，S₂，已知$\overrightarrow{CP}=\frac{3λ}{4}\overrightarrow{CA}+\frac{λ}{4}\overrightarrow{CB}$，其中λ∈（0，1），则$\frac{S_1}{S_2}$=（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{5}$

Answer 1

分析 可以得到$\overrightarrow{CP}=\frac{λ}{4}（3\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）$，而λ∈（0，1），从而可以作图：延长CA到D，使得CD=3CA，并连接BD，延长CP交于BD的中点E，根据三角形的面积公式便可得到，${S}_{1}=\frac{1}{3}•\frac{λ}{4}•{S}_{△CDE}，{S}_{2}=\frac{λ}{4}•{S}_{△BCE}$，这样便可求出$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$．

解答 解：如图，延长CA到D，使CD=3CA，连接BD，延长CP交BD的中点E；

$\overrightarrow{CP}=\frac{λ}{4}（3\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）$，λ∈（0，1）；
∴$CP=\frac{λ}{4}CE$；
∴${S}_{1}=\frac{1}{3}•\frac{λ}{4}•{S}_{△CDE}$，${S}_{2}=\frac{λ}{4}{S}_{△BCE}$；
又S_△CDE=S_△BCE；
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}=\frac{1}{3}$．
故选B．

点评 考查向量数乘的几何意义及其运算，向量加法的平行四边形法则，以及三角形的面积公式，相似三角形对应边的比例关系．