Question

如图1，A（-1，0）、B（1，0）是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的长轴上两点，C，D分别为椭圆的短轴和长轴的端点，P是CD上的动点，若

AP

•

BP

的最大值与最小值分别为3、

5

7

．

（1）求椭圆的离心率；
（2）如图2，点F（1，0），动点Q、R分别在抛物线y²=4x及椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的实线部分上运动，且QR∥x轴，求△FQR的周长l的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设P（x₁，y₁），则

AP

=(x1+1，y1)，

BP

=(x1-1，y1)，故

AP

•

BP

=x12+y12-1，由此能求出椭圆的离心率．
（2）设R（x₀，y₀），由抛物线的定义知QF等于点Q到抛物线准线x=1的距离，故QF+QR等于点R到抛物线准线x=1的距离为x₀+1．由椭圆的第二定义知QF=

1

2

(4-x0)，由此能求出△FQR的周长l的取值范围．

解答：解：（1）设P（x₁，y₁），则

AP

=(x1+1，y1)，

BP

=(x1-1，y1)，
∴

AP

•

BP

=x12+y12-1，…（2分）
∵

AP

•

BP

的最大值与最小值分别为3和

5

7

，
∴x₁²+y₁²的最大值与最小值分别为4、

12

7

，…（3分）
而x₁²+y₁²表示线段CD上的点到原点的距离OP的平方，
∴点OP的最大值为OD=2，
即a=2，…（5分）
OP的最小值即为O到线段CD的距离

2 21

7

，
由平面几何知识得OC=

3

，即b=

3

，…（7分）
得c=

a2-b2

=1，则椭圆的离心率e=

c

a

=

1

2

．…（9分）
（2）设R（x₀，y₀），
由抛物线的定义知QF等于点Q到抛物线准线x=1的距离，
∴QF+QR等于点R到抛物线准线x=1的距离为x₀+1，…（11分）
由椭圆的第二定义知QF=

1

2

(4-x0)，
∴△NAB的周长l=x₀+1+

1

2

(4-x0)=3+

1

2

x0．…（13分）
由

x2 4 + y2 3 =1 y2=4x

，
得：抛物线与椭圆交点的横坐标为

2

3

，
即得

2

3

＜x0＜2．
所以△FQR的周长l的取值范围为(

10

3

，4)．…（16分）

点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，抛物线的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．