Question

已知函数．
（1）设a=1时，求函数f（x）极大值和极小值；
（2）a∈R时讨论函数f（x）的单调区间．

Answer 1

【答案】分析：（1）a=1，f（x）=-3x+ln（2x+1），x＞-，可求得f′（x）=，通过将x、f（x）、f′（x）的变化情况列表可求得函数f（x）极大值和极小值；
（2）求得f′（x）=，通过比较2a与-，2a与的大小，分类讨论，利用函数单调性与极值之间的关系即可求得函数f（x）的单调区间．
解答：解：（1）∵a=1，
∴f（x）=-3x+ln（2x+1），x＞-，
f'（x）=x-3+==，…（1分）
令f'（x）=0，则x=或x=2…（2分）
x、f（x）、f′（x）的变化情况如下表：

x	（-，）		（，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大	↙	极小	↗

…（4分）
由上表可得：，…（5分）
（2）f'（x）=x-（1+2a）+==
令f'（x）=0，则x=或x=2a…（6分）
i、当2a＞，即a＞时，

x	（-，）		（，2a）	2a	（2a，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗		↙		↗

所以f（x）的增区间为（-，）和（2a，+∞），减区间为（，2a）…（8分）
ii、当2a=，即a=时，f'（x）=≥0在（，+∞）上恒成立，
所以f（x）的增区间为（，+∞）…（10分）
iii、当-＜2a＜，即-＜a＜时，

x	（-，2a）	2a	（2a，）		（，+∞）
f'（x）	+	0	-		+
f（x）	↗		↙		↗

所以f（x）的增区间为（-，2a）和（，+∞），减区间为（2a，）…（12分）
iv、当2a≤-，即a≤-时，

x	（-，）		（，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↙		↗

所以f（x）的增区间为（，+∞），减区间为（-，）…（14分）
综上述：a≤-时，f（x）的增区间为（，+∞），减区间为（-，）-＜a＜时，f（x）的增区间为（-，2a）和（，+∞），减区间为（2a，）a=时，f（x）的增区间为（，+∞）a＞时，f（x）的增区间为（-，）和（2a，+∞），减区间为（，2a）
说明：如果前面过程完整，最后没有综上述，可不扣分
点评：本题考查利用导数研究函数的极值与单调性，着重考查求函数极值的基本步骤，突出化归思想与分类讨论思想的考查，属于难题．