Question

已知函数．
（1）设a=1，讨论f（x）的单调性；
（2）若对任意的，都有f（x）＜-2，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）当a=1时，先求出f′（x），然后解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可．
（2）本题属于恒成立问题，转化为函数最值问题，利用导数求出最值即可求得．
解答：解：（1）当a=1时，，其定义域为（0，+∞）．
f′（x）=．
设g（x）=1-x-lnx（x＞0），则g′（x）=-1-＜0，所以g（x）在（0，+∞）上是减函数，
又g（1）=0，于是x∈（0，1）时，g（x）＞0，f′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，g（x）＜0，f′（x）＜0．
所以f（x）的增区间是（0，1），减区间是（1，+∞）．
（2）由f（x）＜-2可得，由于，则lnx＜0，于是．
令，则h′（x）=1-=，当x∈（0，）时，h′（x）＞0，
于是h（x）在上单调递增，因此h（x）在上的最大值为，
因此要使f（x）＜-2恒成立，应有．
故实数a的取值范围是．
点评：本题考查了如何利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立问题，转化为求函数最值问题是解决不等式恒成立的常用方法．