Question

（2013•湛江二模）如图，已知平面上直线l₁∥l₂，A、B分别是l₁、l₂上的动点，C是l₁，l₂之间一定点，C到l₁的距离CM=1，C到l₂的距离CN=

3

，△ABC内角A、B、C所对 边分别为a、b、c，a＞b，且bcosB=acosA
（1）判断三角形△ABC的形状；
（2）记∠ACM=θ，f（θ）=

1

AC

+

1

BC

，求f（θ）的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理，结合结合bcosB=acosA，得sin2B=sin2A，从而可三角形△ABC的形状；
（2）记∠ACM=θ，表示出f（θ）=

1

AC

+

1

BC

，利用辅助角公式化简，即可求f（θ）的最大值．

解答：解：（1）由正弦定理可得：

b

sinB

=

a

sinA

结合bcosB=acosA，得sin2B=sin2A
∵a＞b，∴A＞B
∵A，B∈（0，π），∴2B+2A=π，∴A+B=

π

2

，即C=

π

2

∴△ABC是直角三角形；
（2）记∠ACM=θ，由（1）得∠BCN=

π

2

-θ
∴AC=

1

cosθ

，BC=

3

sinθ

∴f（θ）=

1

AC

+

1

BC

=cosθ+

sinθ

3

=

2

3

cos（θ-

π

6

），
∴θ=

π

6

时，f（θ）的最大值为

2 3

3

．

点评：本题考查正弦定理的运用，考查三角形形状的判定，考查辅助角公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．