Question

【题目】已知函数 在 处的切线斜率为2.
（Ⅰ）求 的单调区间和极值；
（Ⅱ）若 在 上无解，求 的取值范围.

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵ ， ，
∴ .
∴ ， .
令 ，解得 或 .
当 变化时， 的变化情况如下表：

∴函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 和 .
∴函数的极小值为 ，极大值为 ；
（Ⅱ）令 .
∵ 在 上无解，
∴ 在 上恒成立.
∵ ，记 ，
∵ 在 上恒成立，
∴ 在 上单调递减.
∴ .
若 ，则 ， ，
∴ .
∴ 单调递减.
∴ 恒成立.
若 ，则 ，存在 ，使得 ，
∴当 时， ，即 .
∴ 在 上单调递增.
∵ ，
∴ 在 上成立，与已知矛盾，故舍去.
综上可知，
【解析】（1）求出原函数的导函数，由函数f（x）图象在（1，f（1））处切线的斜率为2，得f′（1）=1，由此式可求a的值；再利用导函数小于0和导函数大于0求解函数的单调区间，然后根据极值的定义进行判定极值即可．
（2）设出新的函数，直接利用导函数小于0和导函数大于0求解函数的单调区间，然后根据恒成立的条件进行判定即可．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能得出正确答案．