Question

已知定义在上的函数和数列满足下列条件：
，，当且时，且．
其中、均为非零常数．
（1）若数列是等差数列，求的值；
（2）令，若，求数列的通项公式；
（3）试研究数列为等比数列的条件，并证明你的结论．

Answer 1

，数列是一个公比为的等比数列，若

解：（1）由已知，，得
 
由数列是等差数列，得 
所以，，，得．………………………3分
（2）由，可得

且当时，
所以，当时，
，
因此，数列是一个公比为的等比数列．…………………………………………7分
（3）解答一：写出必要条件，如，由（1）知，当时，数列是等差数列，
所以是数列为等比数列的必要条件．
解答二：写出充分条件，如或等，并证明
解答三：是等比数列的充要条件是
充分性证明：
若，则由已知，得

所以，是等比数列．
必要性证明：若是等比数列，由（2）知，
，．
当时，．
上式对也成立，所以，数列的通项公式为：
．
所以，当时，数列是以为首项，为公差的等差数列．
所以，．
当时，．  
上式对也成立，所以，

所以，．
即，等式对于任意实数均成立．
所以，．……………………………………………………………13分