题目内容
（2013•德州二模）已知向量
=（2cosωx，-1），
=（
sinωx+cosωx，1）（ω＞0），函数f（x）=
•
的最小正周期为π．
（I）求函数f（x）的表达式及最大值；
（Ⅱ）若在x∈[0，
]上f（x）≥a恒成立，求实数a的取值范围．
| a |
| b |
| 3 |
| a |
| b |
（I）求函数f（x）的表达式及最大值；
（Ⅱ）若在x∈[0，
| π |
| 2 |
分析：（1）由向量的数量积公式，结合三角恒等变换公式化简得f（x）=2sin（2ωx+
），由函数的周期算出ω的值，即可得到函数f（x）的表达式，进而利用三角函数的图象与性质求出函数的最大值；
（2）利用三角函数的图象与性质，算出当x∈[0，
]时y=2sin（2x+
）的最大值为2且最小值为-1，由此结合f（x）≥a恒成立，可得实数a小于或等于f（x）的最小值，由此即可得到本题的答案．
| π |
| 6 |
（2）利用三角函数的图象与性质，算出当x∈[0，
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
解答：解：（1）f（x）=
•
=2cosωx（
sinωx+cosωx）-1
=
sin2ωx+2cos2ωx-1=
sin2ωx+cos2ωx
=2sin（2ωx+
）
∵f（x）的最小正周期为T=
=π，解之得ω=1
∴函数f（x）的表达式为y=2sin（2x+
）；
（2）当x∈[0，
]时，2x+
∈[
，
]
∴当x=
时，y=2sin（2x+
）的最大值为2；
当x=
时，y=2sin（2x+
）的最小值为-1
因此，若在x∈[0，
]上f（x）≥a恒成立，则a≤-1
即实数a的取值范围为（-∞，-1]．
| a |
| b |
| 3 |
=
| 3 |
| 3 |
=2sin（2ωx+
| π |
| 6 |
∵f（x）的最小正周期为T=
| 2π |
| 2ω |
∴函数f（x）的表达式为y=2sin（2x+
| π |
| 6 |
（2）当x∈[0，
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 7π |
| 6 |
∴当x=
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
当x=
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
因此，若在x∈[0，
| π |
| 2 |
即实数a的取值范围为（-∞，-1]．
点评：本题给出三角函数表达式，求函数的最小正周期和最值，并讨论不等式恒成立的问题．着重考查了三角函数的图象与性质、向量数量积运算和不等式恒成立的理解等知识，属于中档题．
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