Question

【题目】（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题9分）

设函数的定义域为，值域为，如果存在函数，使得函数的值域仍是，那么称是函数的一个等值域变换．

（1）判断下列函数是不是函数的一个等值域变换？说明你的理由；

，；

，．

（2）设函数的定义域为，值域为，函数的定义域为，值域为，那么“”是否为“是的一个等值域变换”的一个必要条件？请说明理由；

（3）设的定义域为，已知是的一个等值域变换，且函数的定义域为，求实数的值．

Answer 1

【答案】（1）①不是等值域变换，②是等值域变换；（2）不是；（3），.

【解析】

试题（1）根据定义易得①不是等值域变换，②是等值域变换；（2）举反例易知“” 不是“是的一个等值域变换”的一个必要条件；（3）由题可得的值域为，所以在上恒成立，求得，.

试题解析：（1）①不是等值域变换，

②，即的值域为，

当时，，即的值域仍为，所以 是的一个等值域变换，故①不是等值域变换，②是等值域变换；

（2）不必要性的反例：，，

此时，但的值域仍为，

即是的一个等值域变换，（反例不唯一）

∴ “” 不是“是的一个等值域变换”的一个必要条件；

（3）定义域为，因为是的一个等值域变换，且函数的定义域为，∴ 的值域为，

，

∴ 恒有， 解得.