题目内容
【题目】如图,在四面体中,
,
.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)若与平面
所成的角为
,点
是
的中点,求二面角
的大小.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ).
【解析】分析:(Ⅰ)由勾股定理可得, 则
,
,进一步可得
, 则
.
(Ⅱ)结合(Ⅰ)的结论和几何关系,以B为原点,建立空间直角坐标系,则平面BDE的法向量为
,且
是平面CBD的一个法向量.结合空间向量计算可得二面角
的大小为
.
详解:(Ⅰ)由已知得,
,
又,
,
,
,
又,
,
,
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,AB与平面BCD所成的角为,即
,
设BD=2,则BC=2,在中,AB=4,
由(Ⅰ)中,得平面ABC⊥平面ABD,在平面ABD内,过点B作
,则
平面ABC,以B为原点,建立空间直角坐标系
,
则,
,
,
,由
,
,
得,
∴,
,
设平面BDE的法向量为,
则,取
,解得
,
∴是平面BDE的一个法向量,
又是平面CBD的一个法向量.
设二面角的大小为
,易知
为锐角,
则,
∴,即二面角
的大小为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目