Question

已知椭圆（a＞b＞0），圆O：x²+y²=b²，过椭圆上任一与顶点不重合的点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，则=________．

Answer 1

分析：设A（x_A，y_A ），B （x_B，y_B ），则可得切线PA、PB的方程，即可得到A，B 是x_P•x+y_P•y=b² 和圆x²+y²=b² 的交点，求出点M（，0），N（0，），从而得到 =+=（）•=．
解答：设A（x_A，y_A ），B （x_B，y_B ），则切线PA、PB的方程分别为 x_A•x+y_A•y=1，
x_B•x+y_B•y=b²．由于点P 是切线PA、PB的交点，
故点P的坐标满足切线PA的方程，也满足切线PAB的方程．
故A，B 是x_P•x+y_P•y=b² 和圆x²+y²=b² 的交点，
故点M（，0），N（0，）．
又 ，
∴=+=（）•=，
故答案为 ．
点评：本题考查椭圆的标准方程，以及简单性质的应用，得到故A，B 是x_P•x+y_P•y=b² 和圆x²+y²=b² 的交点，是解题的难点和关键．