Question

已知椭圆的左焦点为F（-，0），离心率e=，M、N是椭圆上的动点．
（Ⅰ）求椭圆标准方程；
（Ⅱ）设动点P满足：，直线OM与ON的斜率之积为-，问：是否存在定点F₁，F₂，使得|PF₁|+|PF₂|为定值？，若存在，求出F₁，F₂的坐标，若不存在，说明理由．
（Ⅲ）若M在第一象限，且点M，N关于原点对称，点M在x轴上的射影为A，连接NA 并延长交椭圆于点B，证明：MN⊥MB．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用椭圆的左焦点为F（-，0），离心率e=，建立方程组，求得几何量，从而可求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）利用，确定坐标之间的关系，由直线OM与ON的斜率之积为，结合M、N是椭圆上的点，即可求得结论；
（Ⅲ）设出坐标，证明k_MN•k_MB+1=0即可得到结论．
解答：（Ⅰ）解：由题设可知：，∴a=2，c=…2分
∴b²=a²-c²=2…3分
∴椭圆的标准方程为：…4分
（Ⅱ）解：设P（x_P，y_P），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由可得：①…5分
由直线OM与ON的斜率之积为可得：，即x₁x₂+2y₁y₂=0②…6分
由①②可得：x_P²+2y_P²=（x₁²+2y₁²）+（x₂²+2y₂²）
∵M、N是椭圆上的点，∴x₁²+2y₁²=4，x₂²+2y₂²=4
∴x_P²+2y_P²=8，即…..8分
由椭圆定义可知存在两个定点F₁（-2，0），F₂（2，0），使得动点P到两定点距离和为定值4；….9分；
（Ⅲ）证明：设M（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁＞0，y₁＞0，x₂＞0，y₂＞0，x₁≠x₂，A（x₁，0），N（-x₁，-y₁）…..10分
由题设可知l_AB斜率存在且满足k_NA=k_NB，∴…．③
k_MN•k_MB+1=+1④…12分
将③代入④可得：k_MN•k_MB+1=+1=⑤….13分
∵点M，B在椭圆上，∴k_MN•k_MB+1==0
∴k_MN•k_MB+1=0
∴k_MN•k_MB=-1
∴MN⊥MB…14分．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查轨迹方程的求法，考查学生的计算能力，考查分析解决问题的能力．