Question

9．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinωxcosωx-cos²ωx-$\frac{1}{2}$（ω＞0，x∈R）的图象上相邻两个最高点的距离为π，将函数f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位后得函数g（x），设△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c．
（1）若c=$\sqrt{7}$，f（C）=0，sinB=3sinA，求a、b的值；
（2）若g（B）+g（-B）=-$\frac{3}{2}$，B∈（0，$\frac{π}{2}$），且向量$\overrightarrow{m}$=（cosA，cosB），$\overrightarrow{n}$=（1，sinA-cosAtanB），求$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用三角函数的恒等变换求得f（x）的解析式，由f（C）=0求得C的值，由sinB=3sinA利用正弦定理可得b=3a，再由条件利用余弦定理求得a，b的值．
（2）函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式．再根据g（B）+g（-B）=0，求得cos2B的值，可得B的值．利用向量的数量积及A的范围即可得解．

解答 解：（1）函数f（x）=$\sqrt{3}$sinωxcosωx-cos²ωx-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx-1=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）-1．
∵图象上相邻两个最高点的距离为π，可得最小正周期T=$\frac{2π}{2ω}$=π，求得ω=1，f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1．
将函数f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位后得函数g（x）=sin[2（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]-1=sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1．
∵c=$\sqrt{7}$，f（C）=sin（2C-$\frac{π}{6}$）-1=0，∴sin（2C-$\frac{π}{6}$）=1，∴2C-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，∴C=$\frac{π}{3}$．
∵sinB=3sinA，∴b=3a，由余弦定理可得c²=7=a²+（3a）²-2a•3a•cos$\frac{π}{3}$，
求得a=1，∴b=3．
（2）由于g（B）+g（-B）=sin（2B+$\frac{π}{6}$）-1+sin（-2B+$\frac{π}{6}$）-1=sin2Bcos$\frac{π}{6}$+cos2Bsin$\frac{π}{6}$-sin2Bcos$\frac{π}{6}$+cos2Bsin$\frac{π}{6}$-2=-$\frac{3}{2}$，
求得cos2B=$\frac{1}{2}$，结合B∈（0，$\frac{π}{2}$），可得2B=$\frac{π}{3}$，B=$\frac{π}{6}$．
∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=cosA+cosB（sinA-cosAtanB）=cosA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$（sinA-$\frac{\sqrt{3}}{3}$cosA）=$\frac{1}{2}$cosA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA=sin（A+$\frac{π}{6}$），
∵0$＜A＜\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{6}$＜A+$\frac{π}{6}$＜π，
∴0＜sin（A+$\frac{π}{6}$）＜1，故$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$的取值范围为：（0，1）．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，两角和差的正弦公式，正弦定理和余弦定理，正弦函数的图象，属于中档题．