Question

【题目】过椭圆外一点作椭圆的切线，，切点分别为，，满足.

（1）求的轨迹方程

（2）求的面积(用的横坐标表示)

（3）当运动时，求面积的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）.（2）.（3）

【解析】

（1）讨论切线，的斜率都存在时，设出切线方程，联立椭圆方程，结合相切的条件：判别式为0，由两直线垂直的条件：斜率之积为，可得的轨迹方程；再讨论切线的斜率不存在，可得所求；

（2）设，，求得，处的切线方程，可得切点弦的方程，联立椭圆方程，由韦达定理和弦长公式，可得，求得到直线的距离，再由三角形的面积公式，化简可得所求；

（3）运用换元法和导数，判断面积函数的单调性，结合的横坐标的范围，可得所求范围.

解：（1）当切线，的斜率都存在时，设切线方程为，

由，

，

，

∵.

∴，

∴.

当切线，的斜率有一条不存在时，，在上.

故的轨迹方程.

（2）设点，在椭圆上，则过点，的切线方程为，以下来证明此结论：

因为点，在椭圆上，得．

把，代入方程，得，

所以点，在直线上，

联列方程组，消去可得，

解得，即方程组只有唯一解．

所以，直线为椭圆在点处的切线方程；

设，，

可知，过的切线方程为，

过的切线方程为.

又两切线均过，

∴.

说明，均在直线上.

∵过两点的直线唯一，

∴切点弦所在的直线方程为：.

由，

可得，，

即有，

可得，

又到直线的距离为，

可得的面积为，

由.可得，

即有；

（3）设，则，

，可得在递增，

可得.

则运动时，求面积的取值范围为.