Question

已知函数

（1）判断并证明函数的单调性；

（2）若函数为奇函数，求实数a的值；

（3）在（2）的条件下，若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

显然函数的定义域为R，对任意，，设，则

                        

                                  

因为是R上的增函数，且，所以＜０，          

所以＜０，即，故函数为R上的增函数. 

（2）因为函数的定义域为R，且为奇函数，所以.         

即，解得a=1.                                

（3）解：因为是奇函数，从而不等式对任意的恒成立等价于不等式对任意的恒成立．           

又因为在R上为增函数，所以等价于不等式对任意的恒成立，即不等式对任意的恒成立．                          

所以必须有，即，     　                 

所以，实数的取值范围是（-4，4）．