Question

已知函数
（I）当a=l时，求f（x）在（0，e]上的最小值；
（Ⅱ）若在区间（1，+∞）上，函数f（x）＜2ax恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）当a=l时，（x＞0），求导函数，确定函数在（0，e]上的单调性，从而可求函数的最小值；
（Ⅱ）在区间（1，+∞）上，函数f（x）＜2ax恒成立，即＜0在区间（1，+∞）上恒成立，分类讨论，即可求得实数a的取值范围．
解答：解：（I）当a=l时，（x＞0），∴
∴函数在（0，1）上，f′（x）＜0，函数单调递减，在（1，e]上，f′（x）＞0，函数单调递增，
∴f（x）在（0，e]上的最小值为f（1）=；
（Ⅱ）在区间（1，+∞）上，函数f（x）＜2ax恒成立，即＜0在区间（1，+∞）上恒成立
设g（x）=，则g′（x）=（x+1）（2a-1-）
x∈（1，+∞）时，x+1＞0，0＜＜1
①若2a-1≤0，即a≤，g′（x）＜0，函数在（1，+∞）上为减函数，∴g（x）＜g（1）=--a，
只需--a≤0，即-≤a≤时，g（x）＜0恒成立；
②若0＜2a-1＜1，即＜a＜1时，令g′（x）=0，得x=＞1，函数在（1，）上为减函数，（，+∞）为增函数，
∴g（x）∈（g（），+∞），不合题意；
③若2a-1≥1，即a≥1时，g′（x）＞0，函数在（1，+∞）上增减函数，∴g（x）∈（g（1），+∞），不合题意
综上可知，-≤a≤时，g（x）＜0恒成立
∴实数a的取值范围是[-]．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，正确求导是关键．