Question

已知过点A（0，1），且方向向量为的直线l与⊙C：（x-2）²+（y-3）²=1，相交于M、N两点．
（1）求实数k的取值范围；
（2）求证：=定值；
（3）若O为坐标原点，且=12，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）用点斜式写出直线l的方程，由圆心到直线的距离小于圆的半径列出不等式，解出实数k的取值范围．
（2）由弦长公式可得 AT² =7，又 AT² =AM•AN， 与 共线且方向相同，化简•．
（3）设出M，N两点的坐标，把直线l的方程代入圆的方程化为关于x的一元二次方程，把根与系数的
关系代入•=12 的式子进行化简，解方程求出k的值．
解答：解：（1）∵直线l过点（0，1）且方向向量，∴直线l的方程为y=kx+1（2分）
由，得 （4分）

（2）设⊙C的一条切线为AT，T为切点，则由弦长公式可得 AT² =7，
∴，∴为定值．（8分）
（3）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），将y=kx+1代入方程 （x-2）²+（y-3）²=1 得
（1+k²）x²-4（1+k）x+7=0，（10分）
∴．
∴，
∴，解得k=1，又当k=1时，△＞0，∴k=1（13分）
点评：本题考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，两个向量的数量积的定义，一元二次方程根与系数的关系．