Question

抛物线y²=4x的焦点弦被焦点分为长为m和n的两部分，则m与n关系为

1. A.
   m+n=4
2. B.
   m•n=4
3. C.
   m+n=m•n
4. D.
   m+n=2m•n

Answer 1

C
分析：假设直线斜率存在，则可设出直线方程与抛物线方程联立消去y可求得x₁+x₂，再根据抛物线的定义可求得m+n和mn，进而可求得 +==．再看当斜率不存在时，也符合．综合可推断 ，然后根据p=2，即可得出结论．
解答：抛物线y²=2Px①设AB：y=k（x-），直线方程与抛物线方程联立消去y得
得k²x²-（k²p+2p）x+=0．
∴x₁+x₂=．
又由抛物线定义可得
m+n=x₁+x₂+p==，
m•n=（x₁+）（x₂+）=，
∴+==．
②若k不存在，则AB方程为x=-，显然符合本题．
综合①②有
∵p=2
∴，即m+n=m•n
故选C．
点评：本题主要考查了抛物线的简单性质及抛物线与直线的关系．当遇到抛物线焦点弦问题时，常根据焦点设出直线方程与抛物线方程联立，把韦达定理和抛物线定义相结合解决问题．