Question

函数f（x）=alnx+1（a＞0）．
（Ⅰ） 当x＞0时，求证：f(x)-1≥a(1-

1

x

)；
（Ⅱ） 在区间（1，e）上f（x）＞x恒成立，求实数a的范围．
（Ⅲ） 当a=

1

2

时，求证：f(2)+f(3)+…+f(n+1)＞2(n+1-

n+1

）（n∈N^*）．

Answer 1

（ I）证明：设φ(x)=f(x)-1-a(1-

1

x

)=alnx-a(1-

1

x

)，(x＞0)
令φ′(x)=

a

x

-

a

x2

=0，则x=1，即φ（x）在x=1处取到最小值，
则φ（x）≥φ（1）=0，即原结论成立．
（ II）由f（x）＞x得alnx+1＞x
即a＞

x-1

lnx

，
令g(x)=

x-1

lnx

，(x＞1)，g′(x)=

lnx- x-1 x

(lnx)2

令h(x)=lnx-

x-1

x

，h′(x)=

1

x

-

1

x2

＞0，
则h（x）单调递增，所以h（x）＞h（1）=0
∵h（x）＞0，∴g'（x）＞0，即g（x）单调递增，则g（x）的最大值为g（e）=e-1
所以a的取值范围为[e-1，+∞）．
（ III）证明：由第一问得知lnx≥1-

1

x

，则ln

n

≥1-

1

n

则f(2)+f(3)+…+f(n+1)=

1

2

(ln2+ln3+…+ln(n+1))+n
=ln

2

+ln

3

+…+ln

n+1

+n≥1-

1

2

+1-

1

3

+…+1-

1

n+1

+n
=2n-2(

1

2 2

+

1

2 3

+…+

1

2 n+1

)＞2n-2(

1

1+ 2

+

1

2 + 3

+…+

1

n + n+1

)=2(n+1-

n+1

)．