Question

已知函数f（x）=aln（1+x）-x²，当?p，q∈（0，1），且p-q＞0时，不等式f（p+1）-f（q+1）＞p-q恒成立，则实数a的取值范围为（　　）

• A．(1，

  7

  8

  ]
• B．[15，+∞）
• C．[-1，-

  1

  2

  ]
• D．（15，+∞）

Answer 1

分析：由于

f(p+1)-f(q+1)

p-q

 表示点（p+1，f（p+1）） 与点（q+1，f（q+1））连线的斜率，故函数图象上在区间（1，2）内任意两点连线的斜率大于1，故有 f′（x）=

a

x+1

-2x＞1 在（1，2）内恒成立，即 a＞2x²+3x+1在（1，2）内恒成立，由此求得a的取值范围．

解答：解：∵p-q＞0时，不等式f（p+1）-f（q+1）＞p-q恒成立，即

f(p+1)-f(q+1)

p-q

＞1恒成立，
又

f(p+1)-f(q+1)

p-q

=

f(p+1)-f(q+1)

(p+1)-(q+1)

 表示点（p+1，f（p+1）） 与点（q+1，f（q+1））连线的斜率，
∵实数p，q在区间（0，1）内，∴p+1和q+1在区间（1，2）内．
∴函数图象上在区间（1，2）内任意两点连线的斜率都大于1，
∴函数的导数大于1在（1，2）内恒成立．
由函数的定义域知，x＞-1，
∴f′（x）=

a

x+1

-2x＞1 在（1，2）内恒成立．
即a＞2x²+3x+1在（1，2）内恒成立．
由于二次函数y=2x²+3x+1在[1，2]上是单调增函数，
故x=2时，y=2x²+3x+1 在[1，2]上取最大值为15，∴a≥15，
故答案为[15，+∞）．

点评：本题考查斜率公式的应用，函数的恒成立问题，以及利用函数的单调性求函数的最值．