Question

定义在上的函数同时满足以下条件：

① 在上是减函数，在上是增函数； ②  是偶函数；

③ 在处的切线与直线垂直.

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）设，若存在，使，求实数的取值范围.

Answer 1

解：（Ⅰ） ∵ 在上是减函数，在上是增函数，

∴   ……①            ……………（1分）

由是偶函数得：      ②                   ……………（2分）

又在处的切线与直线垂直， ③    ……………（3分）

由①②③得：，即        ……………（4分）

（Ⅱ）由已知得：若存在，使，即存在，使，

设，则   ……………（6分）

令＝0，∵，∴            ……………（7分）

当时，，∴在上为减函数

当时，，∴在上为增函数

∴在上有最大值。……………（9分）

又，∴最小值为  ……………（11分）

于是有为所求  ……………（12分）