Question

已知函数y=f(x)的图象是自原点出发的一条折线,当n≤y≤n+1(n=0,1,2,…)时，该图象是斜率为b_n的线段(其中正常数b≠1），该数列｛x_n｝由f(x_n）=n(n=1,2,…)定义.

(Ⅰ)求x₁、x₂和x_n的表达式；

(Ⅱ)求f(x)的表达式，并写出其定义域；

(Ⅲ)证明：y=f(x)的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的交点.

Answer 1

(Ⅰ)解：依题意f(0)=0,又由f(x₁）＝1，当0≤y≤1时，函数y=f(x)的图象是斜率为b⁰＝1的线段，

 

故由＝1得x₁＝1．

 

又由f(x₂）＝2，当1≤y≤2时，函数y=f(x)的图象是斜率为b的线段，故由?

 

＝b，即x₂－x₁＝得x₂＝1＋．记x₀＝0，

 

由函数y=f(x)图象中第n段线段的斜率为b^n－1，故得?＝b^n－1．?

 

又f(x_n）＝n, f(x_n－1）＝n－1；

 

∴x_n－x_n－1＝（）^n－1，n＝1，2，…．?

由此知数列｛x_n－x_n－1｝为等比数列，其首项为1，公比为．?

 

因b≠1，得x_n＝x_k－x_k－1）＝1＋＋…＋＝，

 

即x_n＝．

 

(Ⅱ)解：当0≤y≤1，从(Ⅰ)可知y=x,即当0≤x≤1时，f(x)=x.?

 

当n≤y≤n＋1时，即当x_n≤x≤x_n＋1时，由(Ⅰ)可知

 

f(x)=n+bⁿ（x－x_n）（x_n≤x≤x_n＋1，n＝1，2，3，…）．

 

为求函数f(x)的定义域，须对x_n＝(n＝1，2，3，…）进行讨论.??

 

当b＞1时，x_n＝＝；?

 

当0＜b＜1时，n→∞，x_n也趋向于无穷大.

综上，当b＞1时，y=f(x)的定义域为［0，）；?

 

当0＜b＜1时，y=f(x)的定义域为［0，＋∞）．?

 

(Ⅲ)证法一：首先证明当b＞1，1＜x＜时，恒有f(x)＞x成立.

用数学归纳法证明：?

 

(ⅰ)由(Ⅱ)知当n=1时，在(1，x₂］上，y=f(x)=1+b(x-1),所以f(x)-x=(x-1)(b-1)＞0成立?

 

(ⅱ)假设n=k时在（x_k，x_k＋1］上恒有f(x)＞x成立??

 

可得f(x_k＋1）＝k＋1＞x_k＋1，?

 

在（x_k＋1，x_k＋2］上，f(x)＝k＋1＋b^k＋1（x－x_k＋1），?

 

所以f(x)-x=k+1+b^k＋1（x－x_k＋1）－x＝（b^k＋1－1）（x－x_k＋1）＋（k＋1－x_k＋1）＞0成立.

 

由(ⅰ)与(ⅱ)知，对所有自然数n在（x_n，x_n＋1］上都有f(x)＞x成立.

即1＜x＜时，恒有f(x)＞x．?

 

其次，当b＜1，仿上述证明，可知当x＞1时，恒有f(x)＜x成立??

 

故函数y=f(x)的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的交点??

 

证法二：首先证明当b＞1，1＜x＜时，恒有f(x)＞x成立??

对任意的x∈（1，），存在x_n，使x_n＜x≤x_n＋1?，?

 

此时有f(x)-f(x_n）＝bⁿ（x－x_n）＞x－x+n（n≥1），∴f(x)-x＞f(x_n）－x_n．

 

又f(x_n）＝n＞1＋＋…＋＝x_n，∴f(x_n）－x_n＞0，?

 

∴f(x)-x＞f(x_n）－x_n＞0．?

 

即有f(x)＞x成立?

其次，当b＜1，仿上述证明，可知当x＞1时，恒有f(x)＜x成立.?

故函数f(x)的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的交点.

 

评述：本小题主要考查函数的基本概念、等比数列、数列极限的基础知识，考查归纳、推理和综合的能力.