题目内容

已知a＞b＞c，且a+b+c=0，求证：
（Ⅰ）a＞0，c＜0；
（Ⅱ）
b2-ac
a
＜
3
．
分析：（1）因a＞b＞c，故0=a+b+c＜3a，所以a＞0，同理可证c＜0；
（2）利用分析法，将证明的不等式转化为证明：（a-b）（2a+b）＞0，因为a＞b，a-b＞0，即证2a+b＞0，又因为a+b=-c即证a-c＞0，即证a＞c，故得证．
解答：证明：（1）因a＞b＞c，故0=a+b+c＜3a，所以a＞0，
同理0=a+b+c＞3c，
∴c＜0；
（2）要证
b2-ac
a
＜
3
，即证
b2-ac
＜
3
a
即证b2-ac＜3a2即3a2-b2+ac＞0
又因为c=-a-b即证3a2-b2+a（-a-b）＞0
即证2a2-ab-b2＞0
即证（a-b）（2a+b）＞0
又因为a＞b，a-b＞0，即证2a+b＞0，又因为a+b=-c即证a-c＞0
即证a＞c
又由已知，a＞c，故原不等式成立
点评：本题以等式与不等式为前提，考查不等式的证明，证题的关键是利用分析法，将要证明的问题，转化为证明已知的条件会结论．
练习册系列答案
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5、已知a、b、c是直线，β是平面，给出下列命题：
①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；
②若a∥b，b⊥c，则a⊥c；
③若a∥β，b?β，则a∥b；
④若a与b异面，且a∥β，则b与β相交；
⑤若a与b异面，则至多有一条直线与a，b都垂直．其中真命题的个数是（　　）
（1）已知a＞b＞c，且a+b+c=0，求证：
b2-ac
a
＜
3
；
（2）若不等式
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
3n+1
＞
a
24
对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并用数学归纳法证明此时的不等式．
已知a、b、c是直线，β是平面，给出下列命题：
①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；
②若a∥b，b⊥c，则a⊥c；
③若a∥β，a?α，α∩β=b则a‖b；
④若a与b异面，且a∥β，则b与β相交；
其中真命题的序号是
②③
②③
．（要求写出所有真命题的序号）
已知函数f(x)=
x
x2+1
．
（1）求出函数y=f（x）的单调区间；
（2）当x∈(-
3
4
，+∞)时，证明函数y=f（x）图象在点(
1
3
，
3
10
)处切线的下方；
（3）利用（2）的结论证明下列不等式：“已知a，b，c∈(-
3
4
，+∞)，且a+b+c=1，证明：
a
a2+1
+
b
b2+1
+
c
c2+1
≤
9
10
”；
（4）已知a1，a2，…，an是正数，且a1+a2+…+an=1，借助（3）的证明猜想
n
k=1
ak
a
2
k
+1
的最大值．（只指出正确结论，不要求证明）
（2009•越秀区模拟）已知a、b、c∈R且a＜b＜c，函数f（x）=ax2+2bx+c满足f（1）=0，且关于t的方程f（t）=-a有实根（其中t∈R且t≠1）．
（1）求证：a＜0，c＞0；
（2）求证：0≤
ba
＜1．

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