已知$\overrightarrow{a}$=(sinωx+$\sqrt{3}$cosωx.2cosωx).$\overrightarrow{b}$==$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$.其中f(α)=$\frac{3}{2}$.f(β)=$\frac{1}{2}$.且|α-β|的最小值为$\frac{π}{4}$．(1)求ω的值和� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．已知$\overrightarrow{a}$=（sinωx+$\sqrt{3}$cosωx，2cosωx），$\overrightarrow{b}$=（sinωx，cosωx），设f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，其中f（α）=$\frac{3}{2}$，f（β）=$\frac{1}{2}$，且|α-β|的最小值为$\frac{π}{4}$．
（1）求ω的值和函数的单调递增区间；
（2）设A，B为三角形的内角，且f（A）=2，求f（B）的取值范围．

分析（1）由平面向量数量积的运算化简函数解析式可得f（x）=sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）$+\frac{3}{2}$，由题意可解得α=$\frac{{k}_{1}π-\frac{π}{6}}{2ω}$，k₁∈Z，β=$\frac{2{k}_{2}-\frac{2π}{3}}{2ω}$，k₂∈Z，由|α-β|的最小值为$\frac{π}{4}$．可解得：|ω|≤|2k₁-4k₂|+$\frac{1}{2}$，k₁∈Z，k₂∈Z，从而可求ω的值．由2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得函数的单调递增区间．
（2）由题意得sin（A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，结合$\frac{π}{6}$＜A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$，可解得A．可得0$＜B＜\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$＜B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{π}{2}$，由正弦函数的图象和性质即可求得f（B）的取值范围．

解答解：（1）∵f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=sin²ωx+$\sqrt{3}$cosωxsinωx+2cos²ωx=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx+$\frac{1}{2}$cos2ωx+$\frac{3}{2}$=sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）$+\frac{3}{2}$，
∵f（α）=sin（2ωα+$\frac{π}{6}$）$+\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$，可得2ωα+$\frac{π}{6}$=k₁π，k₁∈Z，解得：α=$\frac{{k}_{1}π-\frac{π}{6}}{2ω}$，k₁∈Z，
f（β）=sin（2ωβ+$\frac{π}{6}$）$+\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$，可得2ωβ+$\frac{π}{6}$=2k₂π$-\frac{π}{2}$，k₂∈Z，解得：β=$\frac{2{k}_{2}-\frac{2π}{3}}{2ω}$，k₂∈Z，
∵|α-β|的最小值为$\frac{π}{4}$．
∴|α-β|=|$\frac{{k}_{1}π-\frac{π}{6}}{2ω}$-$\frac{2{k}_{2}-\frac{2π}{3}}{2ω}$|=|$\frac{π（{k}_{1}-2{k}_{2}+\frac{1}{2}）}{2ω}$|≥$\frac{π}{4}$．k₁∈Z，k₂∈Z，
可解得：|ω|≤|2k₁-4k₂|+$\frac{1}{2}$，k₁∈Z，k₂∈Z，
取k₁=2．k₂=1可解得ω=1．
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）$+\frac{3}{2}$，由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得函数的单调递增区间为：[k$π-\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（2）∵f（A）=sin（2A+$\frac{π}{6}$）$+\frac{3}{2}$=2，可得sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，由$\frac{π}{6}$＜2A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{13π}{6}$，可解得：A=$\frac{π}{3}$．
∴0$＜B＜\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{6}$＜B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，$\frac{1}{2}$＜sin（B+$\frac{π}{6}$）＜1，
∴f（B）=sin（B+$\frac{π}{6}$）$+\frac{3}{2}$∈（2，$\frac{5}{2}$）．