Question

已知斜三棱柱侧棱与底面边长均为2，侧棱与底面所成的角为60°，且侧面ABB₁A₁与底面垂直．
（1）求异面直线B₁C与C₁A所成的角；
（2）求此斜三棱柱的表面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）取AB中点D，连结BC₁，交B₁C于点O，连结OD、B₁D．由平行四边形形的性质和三角形中位线定理，证出∠COD（或补角）是异面直线B₁C与C₁A所成的角．结合题中数据算出△COD的三边之长，再利用余弦定理即可算出异面直线B₁C与C₁A所成的角大小；
（2）根据余弦定理解三角形，算出cos∠ACC₁=-，从而得到sin∠ACC₁=，可得S=．同样的方法算出S=，结合S=2和S_△ABC=S=，即可求出此斜三棱柱的表面积．
解答：解：（1）取AB中点D，连结BC₁，交B₁C于点O，连结OD、B₁D
∵平行四边形BCC₁B₁的对角线交点为O，
∴O为BC₁的中点，可得OD是三角形ABC₁的中位线
∴OD∥AC₁，∠COD（或补角）是异面直线B₁C与C₁A所成的角
∵平面ABC⊥侧面ABB₁A₁，平面ABC∩侧面ABB₁A₁=AB
正三角形ABC中，CD⊥AB
∴CD⊥侧面ABB₁A₁，
∵CD=AB=，B₁D==
可得Rt△CDB₁中，B₁C==，得C0==D0
∴△COD中由余弦定理，得cos∠COD==
因此，异面直线B₁C与C₁A所成的角为arccos；
（2）由（1）得AC₁=2D0=，从而算出cos∠ACC₁==-
∴sin∠ACC₁=，可得S=CC₁•ACcsin∠ACC₁=
同理算出S=
又∵S=A₁A•ABsin60°=2，S_△ABC=S==
∴此斜三棱柱的表面积为
S=S+S+S+S_△ABC+S=2+4．
点评：本题给出特殊三棱柱，求异面直线所成角大小并求该几何体表面积，着重考查了面面垂直的性质定理、正余弦定理解三角形和面积公式等知识，属于中档题．