Question

 

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，，

（1）证明：AB⊥A₁C

（2）求二面角A-A₁C-B的大小

Answer 1

解：（1）为直三棱柱，

       底面ABC，

       三角形ABC中

由正弦定理得， …………2分

，平面A₁C₁CA…………4分

       …………6分

（2）连接，由（1）知正方形A₁C₁CA对角线垂足为H

    因为平面A₁C₁CA，AH为BH在平面A₁C₁CA的内射影

所以为二面角A—A₁C—B的平面角   ……8分

因为在正方形A₁C₁CA中 ，

在中   ……10分

二面角A—A₁C—B的大小为arctan ……12分

       解法二：（1）为直三棱柱，

       底面ABC，

       三角形ABC中

由正弦定理得， …………2分

以AB，AC，AA为想，x,y ,z轴建立空间直角坐标系

则A（0, 0, 0），B（1, 0, 0），C（0，，0），A₁（0,  0，）…………4分

，，

 

…………6分

   （2）设平面A₁BC的法向量为

       即得        …………10分

       因为平面ACC₁A₁的法向量为   

       即二面角A—A₁C—B的大小为…………12分