Question

已知函数g(x)=

4x-n

2x

是奇函数，f(x)=log4(4x+1)+mx是偶函数．
（1）求m+n的值；
（2）设h(x)=f(x)+

1

2

x，若g（x）＞h[log₄（2a+1）]对任意x≥1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）由于g（x）为奇函数，且定义域为R，
∴g（0）=0，即

40-n

20

=0?n=1，…（3分）
∵f(x)=log4(4x+1)+mx，
∴f(-x)=log4(4-x+1)-mx=log4(4x+1)-(m+1)x，
∵f（x）是偶函数，
∴f（-x）=f（x），得mx=-（m+1）x恒成立，故m=-

1

2

，
综上所述，可得m+n=

1

2

；…（4分）
（2）∵h(x)=f(x)+

1

2

x=log4(4x+1)，
∴h[log₄（2a+1）]=log₄（2a+2），…（2分）
又∵g(x)=

4x-1

2x

=2x-2-x在区间[1，+∞）上是增函数，
∴当x≥1时，g(x)min=g(1)=

3

2

…（3分）
由题意，得

2a+2＜4 3 2 2a+1＞0 2a+2＞0

?-

1

2

＜a＜3，
因此，实数a的取值范围是：{a|-

1

2

＜a＜3}．…（3分）