Question

【题目】已知数列满足：.

（1）写出数列的前6项的值；

（2）猜想数列与的单调性，选择一种情形证明你的结论.

Answer 1

【答案】（1），，，，，；（2）证明见解析．

【解析】

（1）由已知得，由此依次求得；

（2）由归纳法得出数列与的单调性，并用数学归纳法证明．

（1）∵，∴，

∴，，，，，

（2）由（1） 结论：是递增数列，是递减数列．

由，得，由知数列是正项数列，

①证是递增数列，即证对一切正整数恒成立，

（i）显然，即时，不等式成立，

（ii）假设时，不等式成立，即，∴，则，，即，

易知函数在上是增函数，

∴，

∴，

∵，∴，即，

∴时，不等式成立，

综合（i）（ii）可知对一切正整数，成立，即是递增数列．

②证是递减数列，即证对一切正整数恒成立，

（i）显然，即时，不等式成立，

（ii）假设时，不等式成立，即，∴，则，，（舍去），

易知函数在上是增函数，

∴，

∴，

∵，∴，即，

∴时，不等式成立，

综合（i）（ii）可知对一切正整数，成立，即是递减数列．