题目内容
已知函数f（x）=2
sinxcosx+2cos2x-1（x∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，
]上的最大值和最小值；（Ⅱ）若f（x）=
，x∈[
，
]，求cos2x的值．
【答案】分析：先将原函数化简为y=Asin（ωx+φ）+b的形式
（1）根据周期等于2π除以ω可得答案，又根据函数图象和性质可得在区间[0，
]上的最值．
（2）将x代入化简后的函数解析式可得到sin（2x+
）=
，再根据x的范围可求出cos（2x+
）的值，
最后由cos2x=cos（2x+
）可得答案．
解答：解：（1）由f（x）=2
sinxcosx+2cos2x-1，得
f（x）=
（2sinxcosx）+（2cos2x）-1）=
sin2x+cos2x=2sin（2x+
）
所以函数f（x）的最小正周期为π．
因为f（x）=2sin（2x+
）在区间[0，
]上为增函数，在区间[
，
]上为减函数，
又f（0）=1，f（
）=2，f（
）=-1，所以函数f（x）在区间[0，
]上的最大值为2，最小值为-1．
（Ⅱ）由（1）可知f（x）=2sin（2x+
）
又因为f（x）=
，所以sin（2x+
）=
由x∈[
，
]，得2x+
∈[
，
]
从而cos（2x+
）=-
=-
．
所以
cos2x=cos[（2x+
）-
]=cos（2x+
）cos
+sin（2x+
）sin
=
．
点评：本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数y=Asin（ωx+φ）的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力．
（1）根据周期等于2π除以ω可得答案，又根据函数图象和性质可得在区间[0，
]上的最值．（2）将x代入化简后的函数解析式可得到sin（2x+
）=
，再根据x的范围可求出cos（2x+
）的值，最后由cos2x=cos（2x+
）可得答案．解答：解：（1）由f（x）=2
sinxcosx+2cos2x-1，得f（x）=
（2sinxcosx）+（2cos2x）-1）=
sin2x+cos2x=2sin（2x+
）所以函数f（x）的最小正周期为π．
因为f（x）=2sin（2x+
）在区间[0，
]上为增函数，在区间[
，
]上为减函数，又f（0）=1，f（
）=2，f（
）=-1，所以函数f（x）在区间[0，
]上的最大值为2，最小值为-1．（Ⅱ）由（1）可知f（x）=2sin（2x+
）又因为f（x）=
，所以sin（2x+
）=
由x∈[
，
]，得2x+
∈[
，
]从而cos（2x+
）=-
=-
．所以
cos2x=cos[（2x+
）-
]=cos（2x+
）cos
+sin（2x+
）sin
=
．点评：本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数y=Asin（ωx+φ）的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力．
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