Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是正三角形，侧棱AA₁⊥底面ABC，且各棱长都相等点E是边AB的中点，则直线C₁E与平面BB₁CC₁所成角的正切值为（　　）

• A．

  3

  5

• B．

  1

  2

• C．

  3

  2

• D．

  3

  3

Answer 1

分析：过点E作EF⊥BC于点F，连接FC₁，可证明∠EC₁F即为直线C₁E与平面BB₁CC₁所成角，设各棱长为1，通过解直角三角形可求得EF，FC₁的长，从而可求tan∠EC₁F=

EF

FC1

．

解答：解：如下图所示：过点E作EF⊥BC于点F，连接FC₁，
因为BB₁∥AA₁，AA₁⊥底面ABC，所以BB₁⊥底面ABC，
BB₁?面BC₁，所以面BB₁⊥底面ABC，
所以EF⊥面BC₁，则∠EC₁F即为直线C₁E与平面BB₁CC₁所成角，
设各棱长为1，在Rt△EFB中，EF=BE•sin∠EBF=

1

2

×sin60°=

3

4

，BF=BE•cos∠EBF=

1

2

×cos60°=

1

4

，
在Rt△C₁CF中，C1F=

C1C2+CF2

=

12+( 3 4 )2

=

5

4

，
所以tan∠EC₁F=

EF

FC1

=

3 4

5 4

=

3

5

．
故选A．

点评：本题考查直线与平面所成的角的求解问题，考查学生的计算能力，属中档题，准确理解线面角的定义是解决该类题目的基础．