题目内容
【题目】如图，过抛物线
（
）上一点
，作两条直线分别交抛物线于点
，
，若
与
的斜率满足
.
（1）证明：直线
的斜率为定值，并求出该定值；
（2）若直线在
轴上的截距
，求
面积的最大值.
【答案】（1）证明见解析，
；（2）
.
【解析】
（1）由抛物线
（
）过点
，求得
，设
，
，由
，得到
，利用点差法可得
（
）=
，从而可得结果；（2）设直线
的方程为
，联立直线方程与抛物线方程可得，
，利用点到直线距离公式、弦长公式，由三角形面积公式可得
，利用导数研究函数的单调性，由单调性可得三角形面积的最大值.
（1）由抛物线（）过点，得
，即.
设，，因为，所以
.
因为
，
，代入上式得到
，
通分整理得，
设直线的斜率为
，由，，
两式相减可化为
得（）=.
由于，将其代入上式得
.
（2）设直线的方程为，
由
，
得，
因为
，所以
，且
，
，
所以
.
又点
到直线的距离为
，
所以.
令
，其中
，
则由
，
当
时，
，所以
单调递减；当
，
，所以单调递增，故的最大值为
，
故
的面积
的最大值为
.
【题目】某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：
，
，
，
，
．
分数段 |
|
|
|
|
| 1∶1 | 2∶1 | 3∶4 | 4∶5 |
(1)求图中
的值；
(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；
(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(
)与数学成绩相应分数段的人数(
)之比如下表所示，求数学成绩在
之外的人数.
【题目】为了解某班学生喜好体育运动是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：
喜好体育运动 | 不喜好体育运动 | 合计 | |
男生 | 5 | ||
女生 | 10 | ||
合计 | 50 |
已知按喜好体育运动与否，采用分层抽样法抽取容量为10的样本，则抽到喜好体育运动的人数为6.
（1）请将上面的列联表补充完整；
（2）能否在犯错概率不超过0.01的前提下认为喜好体育运动与性别有关？说明理由.
附：
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
