Question

已知函数f（x）=，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（） n∈N^*
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记T_n=∑（-1）ⁿ⁺¹a_na_n+1，设数列{b_n}的通项公式为b_n=n-，求b_n•T_n的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）将代入f（x）=，即可得到a_n+1-a_n=，利用等差数列通项公式得解
（2）利用分组求和法求出Tn，进而得到数列b_n•T_n的通项公式，利用数列的函数性质，得到数列的单调性，即可得数列的最值
解答：解：（1）∵f（x）=，∴a_n+1=f（）==，即a_n+1-a_n=
∴数列{a_n}为等差数列，a_n=1+（n-1）=
（2）T_2n=（-1）ⁱ⁺¹a_ia_i+1=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）+…+a_2n（a_2n-1-a_2n+1）=（a₂+a₄+…+a_2n）
=•=，∴T_n=，
∴b_n•T_n=（n³-3n²-54n）．
设g（x）=x³-3x²-54x （x＞0），∵g′（x）=3x²-6x-54．
由g′（x）＞0 得x＞1+，∴g（x）在（0，1+]上单调递减，在[1+，+∞）上单调递增
∴数列b_n•T_n在（0，5]上单调递增，在[6，+∞）上单调递递减
∴b₁T₁＜b₂T₂＜…＜b₅T₅，b₆T₆＞b₇T₇＞b₈T₈＞…，又b₅T₅=，b₆T₆=，∴b_n•T_n≤，
故 b_n•T_n最大值为．
点评：本题综合考查了等差数列的通项公式，分组求和法求和以及数列最值的求法，特别注意体会函数在数列中的应用