Question

在直三棱柱ABC－中，∠BAC＝90°，AB＝B＝1，直线C与平面ABC成30°的角．(如图所示)

(1)求点到平面AC的距离；

(2)求二面角B－C－A的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)∵ABC－是直三棱柱，∴∥AC，AC平面AC，∴∥平面AC，于是到平面AC的距离等于点到平面AC的距离，作M⊥A于M．由AC⊥平面A得平面AC⊥平面A，∴M⊥平面AC，M的长是到平面AC的距离． 　　∵AB＝B＝1，⊥CB＝30°，∴C＝2，BC＝，A＝，M＝＝． 　　即到平面AC的距离为； 　　(2)作AN⊥BC于N，则AN⊥平面BC，作NQ⊥C于Q，则AQ⊥C，∴∠AQN是所求二面角的平面角，AN＝＝，AQ＝＝1．∴sin∠AQN＝＝，cos∠AQN＝． 　　说明：利用异面直线上两点间的距离公式，也可以求二面角的大小，如图，AB＝B＝1，∴A＝，又∠CB＝30°， 　　∴BC＝，C＝2，AC＝．作AM⊥C于M，BN⊥C于N，则AM＝1，BN＝， 　　CN＝，CM＝1，∴MN＝．∵BN⊥C，AM⊥C，∴BN与AM所成的角等于二面角B－C－A的平面角．设为．由AB2＝AM2＋BN2＋MN2－2AM×BN×cos得cos＝＝．