Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=3a，BC=2a，D是BC的中点，F是C₁C上一点，且CF=2a．
（1）求证：B₁F⊥平面ADF；
（2）求三棱锥D-AB₁F的体积；
（3）试在AA₁上找一点E，使得BE∥平面ADF．

Answer 1

分析：（1）证明直线与平面垂直，关键要找到两条相交直线与之都垂直，通过证明AD⊥平面BCC₁B₁得AD⊥B₁F，然后在矩形BCC₁B₁中通过证明Rt△DCF≌Rt△FC₁B₁得B₁F⊥FD，问题从而得证．
（2）利用等体积法，将要求的三棱锥D-AB₁F的体积转化为高和底面都已知的三棱锥A-B^₁DF体积来求．
（3）本问是个探究性问题，通过线段的长度关系和平行关系探讨线面平行．

解答：（1）证明：∵AB=AC，D为BC中点∴AD⊥BC，
又直三棱柱中：BB₁⊥底面ABC，AD?底面ABC，
∴AD⊥BB₁，
∴AD⊥平面BCC₁B₁，
∵B₁F?平面BCC₁B₁
∴AD⊥B₁F．
在矩形BCC₁B₁中：C₁F=CD=a，CF=C₁B₁=2a
∴Rt△DCF≌Rt△FC₁B₁，
∴∠CFD=∠C₁B₁F
∴∠B₁FD=90°，即B₁F⊥FD，
∵AD∩FD=D，
∴B₁F⊥平面AFD；
（2）解：∵AD⊥平面BCC₁B₁
∴VD-AB1F=VA-B1DF=

1

3

•S△B1DF•AD
=

1

3

×

1

2

B1F•FD×AD=

5 2 a3

3

；
（3）当AE=2a时，BE∥平面ADF．
证明：连EF，EC，设EC∩AF=M，连DM，
∵AE=CF=2a
∴AEFC为矩形，
∴M为EC中点，
∵D为BC中点，
∴MD∥BE，
∵MD?平面ADF，BE?平面ADF
∴BE∥平面ADF．

点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是个中档题．