Question

如图，设点A和B为抛物线y²=4px(p＞0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB,OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.

Answer 1

思路解析：OA⊥OB即·=0；OM⊥AB即·=0直接应用坐标运算即可.

解：设A（,y₁）,B(,y₂),M(x,y).

=(,y₁),=(,y₂),=(x,y),

=(,y₂-y₁),=(x-,y-y₁).

∵OA⊥OB,∴·=0，即·+y₁y₂=0.∴y₁y₂=-16p².             ①

又∵⊥,∴·=0,即x+(y₂-y₁)y=0,

化简得x+y=0.                                                                               ②

又∵AM∥AB,∴(x-)(y₂-y₁)-( -)(y-y₁)=0,

即x-·y+=0.把①、②代入整理得

x²+y²-4px=0,∵A、B是异于原点的点，∴x≠0.

∴点M的轨迹方程为x²+y²-4px=0(x≠0),它表示以（2p,0）为圆心，以2p为半径的圆（除去原点）.