Question

已知函数f（x）=ax²-（a+1）x+1，g（x）=e^x，其中a∈R，集合A={x||x-t|＜

1

2

}．
（1）当a=-2时，记集合B={x|f（x）＞0}，若A⊆B，求实数t的取值范围；
（2）若F（x）=[f（x）+a-1]•g（x），当a≠0时，求函数F（x）的单调区间与极值．

Answer 1

分析：（1）当a=-2时，f（x）=-2x²+x+1，先化简集合B和A，因为A⊆B，得出关于t的不等关系：

t- 1 2 ≥- 1 2 t+ 1 2 ≤1

，解得实数t的取值范围即可；
（2）先求导数fˊ（x），求出f′（x）=0的值，再讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，从而的函数f（x）的单调区间以及函数的极值，fˊ（x）＞0的区间是增区间，fˊ（x）＜0的区间是减区间．

解答：解：（1）当a=-2时，f（x）=-2x²+x+1，B={x|-2x²+x+1＞0}={x|-

1

2

＜x＜1}，
A={x||x-t|＜

1

2

}={x|t-

1

2

＜x＜

1

2

+t}，
因为A⊆B，所以

t- 1 2 ≥- 1 2 t+ 1 2 ≤1

，解得0≤t≤

1

2

，
所以实数t的取值范围是[0，

1

2

]．
（2）F（x）=[ax²-（a+1）x+a]e^x，
F′（x）=[ax²+（a-1）x-1]e^x=a（x-

1

a

）（x+1）e^x，
令F′（x）=0，解得x=

1

a

，或x=-1．
以下分四种情况讨论：
（ⅰ）当a＞0时，则-1＜

1

a

．当x变化时，F′（x），F（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1， 1 a ）	1 a	（ 1 a ，+∞）
F′（x）	+	0	-	0	+
F（x）	?↗	极大值	↘?	极小值	?↗

所以函数F（x）在（-∞，-1），（

1

a

，+∞）内是增函数，在（-1，

1

a

）内是减函数．
函数F（x）在x=-1处取得极大值F（-1），且F（-1）=（3a+1）e^-1；函数F（x）在x=

1

a

处取得极小值F（

1

a

），且F（

1

a

）=（a-1）e^{＜/sup＞f（1，a）＜sup＞}．
（ⅱ）当-1＜a＜0时，则

1

a

＜-1，当x变化时，F′（x），F（x）的变化情况如下表：

x	（-∞， 1 a ）	1 a	（ 1 a ，-1）	-1	（-1，+∞）
F′（x）	-	0	+	0	-
F（x）	?↘	极小值	?↗	极大值	?↘

所以函数F（x）在（-∞，

1

a

），（-1，+∞）内是减函数，在（

1

a

，-1）内是增函数．
函数F（x）在x=-1处取得极大值F（-1），且F（-1）=（3a+1）e^-1；函数F（x）在x=

1

a

处取得极小值F（

1

a

），且F（

1

a

）=（a-1）e^{＜/sup＞f（1，a）＜sup＞}．
（ⅲ）当a=-1时，F′（x）＜0，所以函数F（x）在R上是减函数，无极值．
所以函数F（x）在（-∞，-1），（

1

a

，+∞）内是减函数，在（-1，

1

a

）内是增函数．
函数F（x）在x=-1处取得极小值F（-1），且F（-1）=（3a+1）e^-1；函数F（x）在x=

1

a

处取得极大值F（

1

a

），且F（

1

a

）=（a-1）e

1

a

．

点评：本题主要考查了集合的包含关系判断及应用、函数的极值，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．