三棱锥A-BCD的外接球半径为$\sqrt{13}$.AD=2.且满足$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AD}=0$.则三棱锥A-BCD体积的最大值为( )A 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．三棱锥A-BCD的外接球半径为$\sqrt{13}$，AD=2，且满足$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AD}=0$，则三棱锥A-BCD体积的最大值为（　　）

A．

B．

C．

D．

分析三棱锥A-BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，求出长方体的三度，转化为对角线长，再根据基本不等式，即可求出最大值．

解答解：∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AD}=0$，
∴侧棱AB、AC、AD两两垂直，
补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，
设长方体的三度为a，b，c由题意得：a²+b²+c²=4R²=4×13=52，
∵AD=c=2，
∴a²+b²=48，
∴48=a²+b²≥2ab，即ab≤24，
∴V_A-BCD=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$abc≤8，
故选：C．

点评本题考查几何体的外接球的体积，三棱锥转化为长方体，两者的外接球是同一个，以及长方体的对角线就是球的直径是解题的关键所在，属于中档题．

练习册系列答案

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7．若$x+\frac{4}{x-1}≥{m^2}-2am-3$对所有的x∈[2，4]和a∈[-1，1]恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

4．已知长方形ABCD中，AB=4，BC=1，M为AB的中点，则在此长方形内随机取一点P，P与M的距离小于1的概率为$\frac{π}{8}$．

11．函数$y=cos（\frac{π}{4}-2x）$最小正周期是π，单调减区间是[kπ+$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{5π}{8}$]，k∈Z．

1．下列有关命题的说法正确的是（　　）

	A．	命题“若x²=1，则x=1”的否命题为：“若x²=1，则x≠1”
	B．	命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
	C．	命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题
	D．	命题“?x∈R使得x²+x+1＜0”的否定是：“?x∈R均有x²+x+1＜0”