Question

已知函数f（x）=x³-x²-x．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求曲线y=f（x）在点P（-1，f（-1））处的切线方程．

Answer 1

分析：（1）先求函数的导数，然后利用f′（x）＞0，或f′（x）＜0，求出单调区间．
（2）利用导数先求f′（-1），即切线的斜率k=f′（-1），代入点斜式方程，即可求出对应的切线方程．

解答：（本小题满分14分）
解：（1）函数f（x）的定义域为（-∞，+∞）．（1分）f′(x)=3x2-2x-1=3(x+

1

3

)(x-1)．（4分）
当x∈(-∞，-

1

3

)时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增；                   （5分）
当x∈(-

1

3

，1)时，f'（x）＜0，此时f（x）单调递减；                     （6分）
当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增．（7分）
所以函数f（x）的单调增区间为(-∞，-

1

3

)与（1，+∞），单调减区间为(-

1

3

，1)．（9分）
（2）因为f（-1）=（-1）³-（-1）²+1=-1，（10分）f'（-1）=3×（-1）²-2×（-1）-1=4，（12分）
所以所求切线方程为y+1=4（x+1），即y=4x+3．（14分）

点评：本题主要考查导数的计算，利用导数研究函数的单调性，以及利用导数的几何意义求切线方程．