Question

设a，b，c是直角三角形的三边长，其中c为斜边，且c≠1，求证：log_（c+b）a+log_（c-b）a=2log_（c+b）a•log_（c-b）a．

Answer 1

分析：依题意，利用对数换底公式log_（c+b）a=

logaa

loga(c+b)

，log_（c-b）a=

logaa

loga(c-b)

证明左端=右端即可．

解答：证明：由勾股定理得a²+b²=c²．
log_（c+b）a+log_（c-b）a
=

1

loga(c+b)

+

1

loga(c-b)

=

loga(c+b)+loga(c-b)

loga(c+b)•loga(c-b)

=

loga(c2-b2)

loga(c+b)•loga(c-b)

=

logaa2

loga(c+b)•loga(c-b)

=log_（c+b）a•log_（c-b）a．
∴原等式成立．

点评：本题考查对数换底公与对数运算性质的应用，考查正向思维与逆向思维的综合应用，考查推理证明与运算能力，属于中档题．