Question

设函数f（x）=msinx+cosx（x∈R）的图象经过点(

π

2

，1)．
（Ⅰ）求y=f（x）的解析式，并求函数的最小正周期和最值．
（Ⅱ）若f(

π

12

)=

2

sinA，其中A是面积为

3 3

2

的锐角△ABC的内角，且AB=2，求AC和BC的长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据函数图象过一点，把此点的坐标代入，利用特殊角的三角函数值即可求出m的值，进而确定出f（x）的解析式，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，利用周期公式求出f（x）的最小正周期，根据正弦函数的值域得到f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）根据已知的等式，代入确定出的f（x）的解析式，化简后得到sinA的值，由A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数，然后根据三角形的面积公式，由AB和sinA的值求出AC的长，最后由AC，AB及cosA的值，利用余弦定理即可求出BC的长．

解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）=msinx+cosx（x∈R）的图象经过点(

π

2

，1)，
∴msin

π

2

+cos

π

2

=1，
∴m=1，（2分）
∴f(x)=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)．（4分）
∴函数的最小正周期T=2π．（5分）
当x=

π

4

+2kπ(k∈Z)时，f（x）的最大值为

2

，当x=

5π

4

+2kπ(k∈Z)时，f（x）最小值为-

2

．（7分）
（Ⅱ）因为f(

π

12

)=

2

sinA，即f(

π

12

)=

2

sin

π

3

=

2

sinA，
∴sinA=sin

π

3

，
∵A是面积为

3 3

2

的锐角△ABC的内角，
∴A=

π

3

．（10分）
∵S△ABC=

1

2

AB•ACsinA=

3

2

3

，
∴AC=3．（12分）
由余弦定理得：BC²=AC²+AB²-2•AB•ACcosA=7，
∴BC=

7

．（14分）

点评：此题考查了三角函数的恒等变形，余弦定理，三角形的面积公式，以及正弦函数的周期及值域．熟练掌握三角函数的恒等变形是解本题的关键．