Question

如图，四边形ABCD与A'ABB'都是边长为a的正方形，点E是A'A的中点，A'A⊥平面ABCD．
（I）计算：多面体A'B'BAC的体积；
（II）求证：A'C∥平面BDE；
（Ⅲ）求证：平面A'AC⊥平面BDE．

Answer 1

分析：（I）多面体A'B'BAC是一个以A'B'BA为底，C点为顶点的四棱锥，由图形知其体积易求；
（II）欲证A'C∥平面BDE，只须在面内找到一条线与线A'C平行即可，由图形知，此线为一中位线，易作，易证；
（Ⅲ）欲证平面A'AC⊥平面BDE．先证BD⊥平面A'AC即可．

解答：（I）解：多面体A'B'BAC是一个以A'B'BA为底，C点为顶点的四棱锥，由已知条件，知BC⊥平面A'B'BA，
∴VC-A′B′BA=

1

3

SA′B′BA•BC
=

1

3

•a2•a
=

a3

3

（3分）
（II）证：设AC交BD于M，连接ME．
∵ABCD为正方形，所以M为AC中点，
又∵E为A'A的中点
∴ME为△A'AC的中位线∴ME∥A'C（5分）
∵ME?平面BDE，A'C?平面BDE
∴A'C∥平面BDE．（7分）
（Ⅲ）证：∵ABCD为正方形
∴BD⊥AC（9分）

∵A′A⊥平面ABCD，BD?平面ABCD

∴A′A⊥BD．

又AC∩A′A=A

∴BD⊥平面A′AC．（11分）

∵BD?平面BDE ∴平面A′AC⊥平面BDE.

（12分）

点评：本题考点是组合体的面积、体积问题，考查了组合体的体积求法以及线面平行，面面垂直的证明，属于直接用定理证明的题型，是立体几何中的基本题型．